PUNKTE + VERBINDUNGEN

Wie viele Verbindungsmöglichkeiten gibt es zwischen mehreren Punkten?

Haben wir 2 Punkte, so kann es nur eine Verbindung zwischen diesen geben.

Haben wir 3 Punkte, so gibt es 3 Verbindungsmöglichkeiten.

Hier erst einmal eine Graphik:

Wie wir sehen, nimmt die Anzahl der Verbindungsmöglichkeiten rasant zu.

Seht ihr die Systematik dahinter?

Ist doch klar.

Wenn ein Punkt da ist, kann ich ja keine zwei verbinden.

Wenn zwei Punkte da sind, gibt es genau eine Verbindungsmöglichkeit.

Und wenn dann ein dritter dazu kommt, muss er ja je eine Verbindung zu den beiden schon vorhandenen Punkten bekommen.

Wenn wir genau hinsehen, kommen mit jedem weiteren Punkt genau so viele Verbindungsmöglichkeiten hinzu, wie vorher schon Punkte da sind.

Hier dies als Tabelle, in der dies durch Addition ermittelt wird:

Haben wir nur ein paar Punkte, so können wir durch Addition schnell herausfinden, wie viele Möglichkeiten es gibt zwei der gegebenen Punkte zu verbinden.

Wird die Anzahl der Punkte aber größer, so wird das recht mühsam. Vielleicht sollten wir dann mal die Tabelle noch einmal genau ansehen und eine einfache Formel suchen, nach der wir die Anzahl der Verbindungsmöglichkeiten ausrechnen können.

Also das ganze noch einmal mittels Multiplikation

der Anzahl der Summanden mit dem Mittelwert der Summanden.

Jetzt sieht das schon viel einfacher aus.

Es geht jetzt darum, dass wir eine allgemein gültige Formel finden, damit wir einfach aus der Anzahl der Punkte sofort errechnen können, wie viele Verbindungsmöglichkeiten es gibt.

Nennen wir die Anzahl der Punkte      n

Oben sehen wir, dass die Anzahl der Summanden immer um 1 niedriger ist,

als die Anzahl der Punkte.

Die linke Zahl unserer Multiplikation,

also die Anzahl der Zahlen ist daher     n - 1

Jetzt müssen wir noch die rechte Zahl, den Mittelwert, herausfinden, nennen wir ihn  m.

Hierzu nehmen wir die erste und die letzte Zahl, addieren diese und teile sie durch 2.

Dann haben wir den Mittelwert aller Zahlen der Addition.

Da die erste Zahl immer die 1 ist,

und da die letzte Zahl immer um 1 kleiner ist, als die Anzahl der Punkte, ist die

letzte Zahl     n - 1

Schau dies oben in der Tabelle an, bis Du es auch sehen kannst. Die letzte Zahl haben wir grau unterlegt, damit man sie leicht finden kann und mit der Anzahl der Punkte links vergleichen kann.

Rechnen wir jetzt den Mittelwert aus.

In der Klammern ist die erste und die letzte Zahl und die Summe wird durch 2 geteilt:

m    =    (erste Zahl + letzte Zahl) geteilt durch 2

m    =    ( 1 +  n - 1 ) / 2

vereinfachen wir dies zu:

m    =      n / 2

Und nennen wir die Anzahl der Verbindungsmöglichkeiten      v

dann können wir folgende Formel schreiben:

v    =      Anzahl der Zahlen      *      Mittelwert

v    =     ( n - 1 )      *      n / 2   

Dies ist unsere gesuchte Formel.

Rechnen wir mal ein paar Beispiele aus:

n  =  8                  v  =      7  *    4  =       28

n  =  20                v  =    19  *  10  =     190

n  =  128              v  =  127  *  64  =  8.128

Dies geht doch super schnell. Stellt euch vor, wir hätten dies durch eine Zeichnung ermittelt! Wir wären ewig damit beschäftigt. Und auch mit der Addition hätten wir bei der dritten Rechnung irgendwann jede Lust am Rechnen verloren.